引言
波动率的一个重要特征是持续性，或者说聚集性：近期高波动，往往伴随不久之后的高波动。这是Engle（1982）开创性自回归条件异方差模型（ARCH）的基础。本文研究旨在抵消波动率变化的资产和组合的风险收益特征。做法是在低波动时增加杠杆，高波动时缩减规模；实质上，组合瞄准恒定波动，而非恒定名义敞口。
依据波动率决定配置，近来受到大量关注。财经媒体聚焦风险平价基金的流行。Moreira与Muir（2017）发现，对股票大盘和若干主要为多空的动态股票策略，波动管理可提高夏普。
多数研究集中于股票，我们则考察60多项资产，日数据最早始于1926年。结果显示，风险资产——股票和信用——及大量配置这些资产的组合，例如股债60/40和股债信商风险平价，经过波动缩放后夏普更高。
风险资产存在所谓“杠杆效应”，即收益与波动率负相关，因而波动缩放相当于给策略加入一些动量。负收益时期波动常上升，引发减仓，与时间序列动量策略的方向一致。此类动量策略历史上表现良好。债券、货币、商品等其他资产的实际夏普，则几乎不受波动缩放影响。
在60多项资产中，目标波动率一致降低了极端收益发生的可能性，也降低“波动率的波动”。在合理的偏好条件下，同样夏普时，投资者更偏好较薄的左尾。目标波动率还降低均衡组合和风险平价组合的最大回撤。
准备工作：数据
本文以日收益为起点。月数据常有更长历史，但不适合形成反应及时的波动估计。图1列出资产和样本。
| 资产 | 期间 | 来源 |
|---|---|---|
| 全美股票；十个行业 | 1927—2017 | Kenneth French网站 |
| 全美股票三个子样本 | 1928—1957；1958—1987；1988—2017 | Kenneth French网站 |
| 标普500期货 | 1988—2017 | Man AHL |
| 美国债券（日收益由收益率推算） | 1962—2017 | 圣路易斯联储 |
| 十年期国债期货 | 1988—2018 | Man AHL |
| 美国公司信用指数，以国债对冲 | 1988—2018 | 彭博、Man AHL |
| 19种商品期货：6农产品、6能源、7金属 | 1988—2018 | Man AHL |
| 9种兑美元货币远期；10个股指期货 | 1988—2018 | Man AHL |
| 固定收益期货：9债券、3利率 | 1988—2018 | Man AHL |
| 股债60/40；股债信商25/25/25/25 | 1988—2018 | Man AHL |
原图1的若干系列列至2018，而后文绩效图表列至2017，原样保留。数据至少为日频；标普500、十年国债还使用5分钟数据。可得的样本起点之前数据用于初始化波动估计。
美国股票日数据从1926年7月1日开始，来自Kenneth French网站，包含纽约证券交易所、美国证券交易所及纳斯达克上市公司的市值加权回报，以下简称“全美股票”。十个行业组合来自同源、同起点。1988年起标普500期货数据还可支持日内波动估计。
美国国债日收益率从1962年起可得，来自美联储。我们把十年期收益率视为平价收益率，计算平价票息债的日收益代理。1988年起十年期国债期货也有日内数据。
信用方面，我们用美银美林美国公司债总回报指数，按Cook等（2017）的方法用国债对冲，构造类似现有合成投资级CDX指数的长历史敞口。此外，采用Cook等的50种流动性期货与远期日数据：6种农产品、6种能源、7种金属、9种兑美元货币、10个股指、9种债券及3个利率合约。
波动率缩放
我们关注超额回报，因为它反映承担风险的补偿，而非货币时间价值。超额回报属于无需净投入资金的回报，例如按无风险国库券利率融资持有股票。这样，缩放后的收益易于计算：头寸与提前整整24小时可知、仅用截至t−2日收益估出的条件波动率成反比。
rt不缩放 = rt × k不缩放
加入约等于1的常数k，是为使事后全样本实际波动恰好达到目标，从而便于比较不同证券、方法及期间。全文目标均为年化10%。不缩放版本没有条件波动估计，只乘常数，使其事后实际波动也为10%。
期货、远期按保证金交易，回报本质上已是无需净投入资金的收益，不再扣无风险利率。国债对冲的信用收益也有这一性质。
波动估计使用日收益标准差，不同滞后数据赋予指数衰减权重。固定长度等权滚动窗，或三日、五日重叠收益的估计，结果相似，未列出。高频数据可能估得更精确，因此还考察1988年起标普500及十年国债期货的日内缩放。选芝加哥时间9:15—14:00流动时段的5分钟收益，把平方和汇为日实现方差，再指数加权平均后开方。
全美股票使用自然日，以纳入1952年前周六交易；其他资产用工作日。所有波动均按数据点数调整年化，确保可比。
绩效统计
多数指标按月评估，因为相比日频更贴近投资者：全美股票用滚动30自然日，其他用21工作日重叠收益。只有名义敞口均值和换手用日数据。
表格报告成本前后夏普。交易成本按成交名义金额计：股票1基点（0.01%）、债券0.5、信用0.5、黄金1、原油2、铜3.5基点。曲线只展示成本前，扣成本结果非常相似。
交易量可从平均名义敞口乘敞口换手推得。换手定义为日敞口变化绝对值的均值，年化后除以平均敞口的两倍，即每年平均敞口的往返交易次数。不考虑期货、远期换月的换手；单一资产不缩放头寸的换手为零。
| 指标 | 定义 |
|---|---|
| 夏普比率 | 超额收益均值／标准差，并年化 |
| 平均名义敞口 | 每日敞口平均值 |
| 名义敞口换手 | 日敞口绝对变化均值，年化并除以两倍平均敞口 |
| 波动率的波动 | 滚动一年标准差序列的标准差，底层为21工作日或30自然日重叠收益 |
| 左尾平均损失 | 低于第1或第5百分位的全部收益均值 |
| 右尾平均超出收益 | 高于第95或第99百分位的全部收益均值 |
“波动率的波动”直接衡量风险敞口稳定性。平均损失是预期损失或条件VaR的实际对应量；普通VaR只看分位点，忽略其外的损失，而平均损失包含整个尾部，因此更合适。虽然左尾最受关心，我们也展示右尾对应量，以说明缩放会同时削薄两尾。
正文不主列偏度和峰度：它们分别涉及三次、四次方，对异常值极敏感；偏度又同时受左右尾影响，而投资者更在意左尾。在线补充讨论尾部偏度、峰度及最大回撤。
美国股票：未经缩放的历史
图3前三幅展示1926—2017年每日、每月、每年的股票超额收益。波动明显聚集：大萧条的30年代、科技泡沫破裂后的2000年代初、2007—2009年全球金融危机，都持续高波动。最糟糕的一天——1987年10月19日“黑色星期一”——也清晰可见。
前三幅横轴为年份、纵轴分别为日/月/年超额收益；第四幅以对数尺度比较名义、超额与实际累计回报，未作波动缩放。70—80年代高通胀使名义回报明显高于其他口径。曲线无逐点数据，本译文保留图义，不臆造序列。
超额回报略低于实际回报，符合直觉：扣除的短期利率既含通胀成分（经验中作用更大），也含实际利率成分。通胀取美国劳工统计局全部城镇消费者CPI（原注13）。
股票波动的持续性
图4按上月波动将观察值分五组，观察下月年化平均超额收益和波动。下月波动随分组明显上升，收益却无明确规律。这意味着可预测的高波动没有得到显著更高的预期补偿，是缩放可能提高股票夏普的首个迹象。第二份在线补充还给出月内日收益方差的自相关。
横轴均为按上月波动从低至高排序的五组；左图为下月年化平均超额收益，右图为下月年化波动。右图呈明显上升，左图不呈清晰单调关系。
股票缩放后的表现
图5比较不缩放及不同半衰期指数加权缩放。夏普从0.40提高至0.48—0.51，对具体估计选择不敏感。显示精度下毛、净夏普相同，但要记住，现代成本估计被用于整段历史。使用滚动90自然日而非30日评估，结果也很相似。
| 缩放方法 | 毛夏普 | 净夏普 | 平均敞口 | 年换手 | 波动的波动 | 左尾1% | 左尾5% | 右尾95% | 右尾99% |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 不缩放 | 0.40 | 0.40 | 52% | 0.00 | 4.6% | −11.4% | −6.9% | 6.3% | 11.8% |
| 缩放 (10日半衰期) | 0.48 | 0.48 | 71% | 4.66 | 1.7% | −8.3% | −6.1% | 5.8% | 7.3% |
| 缩放 (20日半衰期) | 0.49 | 0.49 | 70% | 2.39 | 1.8% | −9.0% | −6.4% | 5.8% | 7.3% |
| 缩放 (40日半衰期) | 0.50 | 0.50 | 69% | 1.22 | 1.9% | −9.6% | −6.5% | 5.8% | 7.4% |
| 缩放 (60日半衰期) | 0.51 | 0.51 | 68% | 0.82 | 2.1% | −9.9% | −6.6% | 5.9% | 7.5% |
| 缩放 (90日半衰期) | 0.51 | 0.51 | 67% | 0.56 | 2.2% | −10.1% | −6.7% | 5.9% | 7.7% |
原文图5完整数值；统一至全样本10%实际波动。毛／净指扣交易成本前／后；年换手为平均敞口的往返次数；尾部为分位点之外收益的均值，不是分位点本身。
达到同样全样本10%波动，缩放版平均敞口更高，因为低波动阶段头寸较大。不缩放换手为零；最快反应的估计每年约五次，最慢不到一次。波动的波动和左尾明显改善，反应越快改善越大；右尾也减少。因此两尾同时收缩。补充材料显示峰度显著下降，偏度影响较模糊；最大回撤也较低。
图6使用20日半衰期：除样本中段外，缩放累计收益大体领先。滚动一年、以30日重叠收益计算的实际波动也稳定得多；波动的波动从4.6%降至1.8%。
左图为累计对数超额收益，右图为滚动一年实际波动；比较不缩放与20日半衰期缩放，均统一到全样本10%波动。图例中波动的波动分别4.6%、1.8%。
子样本、行业及日内数据的稳健性
图7用散点展示全样本、三个30年子样本及十个行业。不缩放指标在横轴，缩放在纵轴；波动的波动轴反向，故所有图中虚线以上都代表改善。除1957—1987子样本外，夏普都改善；波动的波动与左尾平均损失一致且明显改善。原表1子样本写1958—1987，此处保留正文年份。
四幅分别为夏普、波动的波动、1%和5%左尾。蓝点为大盘、灰点为子样本、红点为行业；20日半衰期、滚动30日评估，均为全样本10%波动。
图8使用1988年起5分钟标普期货数据，比较日数据和日内数据估计。在换手相近的版本之间，日内数据使夏普、波动的波动及左尾都有轻微改善。
| 缩放方法 | 毛夏普 | 净夏普 | 平均敞口 | 年换手 | 波动的波动 | 左尾1% | 左尾5% | 右尾95% | 右尾99% |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 不缩放 | 0.50 | 0.50 | 68% | 0.00 | 3.8% | −11.2% | −6.9% | 6.2% | 9.1% |
| 缩放 (10日半衰期) | 0.57 | 0.56 | 85% | 4.56 | 1.1% | −7.8% | −6.0% | 5.9% | 7.6% |
| 缩放 (20日半衰期) | 0.59 | 0.59 | 84% | 2.31 | 1.2% | −8.4% | −6.1% | 6.0% | 7.7% |
| 缩放 (40日半衰期) | 0.60 | 0.60 | 83% | 1.17 | 1.5% | −9.0% | −6.3% | 6.0% | 7.9% |
| 缩放 (60日半衰期) | 0.60 | 0.59 | 82% | 0.78 | 1.8% | −9.3% | −6.4% | 6.0% | 8.1% |
| 缩放 (90日半衰期) | 0.59 | 0.59 | 80% | 0.53 | 2.1% | −9.6% | −6.5% | 6.1% | 8.2% |
| 缩放 (日内， 5日) | 0.60 | 0.59 | 86% | 3.96 | 1.3% | −7.5% | −5.7% | 6.0% | 7.4% |
| 缩放 (日内， 15日) | 0.62 | 0.62 | 85% | 1.52 | 1.4% | −8.3% | −6.1% | 5.9% | 7.5% |
| 缩放 (日内， 25日) | 0.63 | 0.63 | 84% | 0.97 | 1.5% | −8.7% | −6.2% | 6.0% | 7.6% |
| 缩放 (日内， 40日) | 0.63 | 0.62 | 83% | 0.64 | 1.6% | −9.1% | −6.3% | 6.0% | 7.8% |
| 缩放 (日内， 60日) | 0.62 | 0.62 | 81% | 0.45 | 1.8% | −9.4% | −6.4% | 6.0% | 8.0% |
原文图8完整数值；统一至全样本10%实际波动。毛／净指扣交易成本前／后；年换手为平均敞口的往返次数；尾部为分位点之外收益的均值，不是分位点本身。
其他资产：债券的长历史
与股票相同，我们先看1926年以来的债券回报，代理日收益始于1962年。图9展示日、月、年超额收益。1980年前波动较低，1967年前尤其低，显示债券经历了持续数十年的不同波动制度。结构性断点可能使纳入80年代中期之前数据的目标波动研究不太适合当代市场。股票虽有波动聚集，却无明显这类断点。
图9底图显示，债券超额累计回报在最初55年近乎横盘，并经历了截至80年代才结束的约40年回撤。
前三幅为十年国债代理日、月、年超额回报，底图对数尺度比较名义、超额与实际累计回报；均未经波动缩放。
图10同样按上月波动分五组。波动具有持续性，但与股票不同，高波动组的下月平均回报高得多。因此，缩放是否改善债券多头夏普并不明显。月方差自相关见在线补充。
左图为下月年化平均超额回报，右图为下月年化波动；横轴为上月波动五分组。最高波动组同时具有较高后续回报与波动。
图11报告1963—2017年。与五分组一致，缩放降低夏普。原因很直接：1960—1980年兼有低波动和负回报，目标波动方法会在长期债券熊市中保持较大敞口。它仍降低波动的波动。
| 缩放方法 | 毛夏普 | 净夏普 | 平均敞口 | 年换手 | 波动的波动 | 左尾1% | 左尾5% | 右尾95% | 右尾99% |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 不缩放 | 0.25 | 0.25 | 127% | 0.00 | 3.9% | −8.4% | −5.9% | 7.1% | 11.7% |
| 缩放 (10日半衰期) | 0.05 | 0.04 | 180% | 4.96 | 2.1% | −8.6% | −6.3% | 6.0% | 8.2% |
| 缩放 (20日半衰期) | 0.06 | 0.06 | 179% | 2.51 | 2.1% | −8.9% | −6.3% | 6.1% | 8.4% |
| 缩放 (40日半衰期) | 0.08 | 0.08 | 177% | 1.27 | 2.2% | −9.0% | −6.4% | 6.2% | 8.5% |
| 缩放 (60日半衰期) | 0.08 | 0.08 | 174% | 0.86 | 2.4% | −9.2% | −6.4% | 6.2% | 8.5% |
| 缩放 (90日半衰期) | 0.09 | 0.09 | 170% | 0.58 | 2.6% | −9.5% | 6.4% | 6.2% | 8.6% |
原文图11完整数值；统一至全样本10%实际波动。毛／净指扣交易成本前／后；年换手为平均敞口的往返次数；尾部为分位点之外收益的均值，不是分位点本身。 原表90日半衰期的左尾5%印为正6.4%，与其他负尾值及定义不符，疑似漏印负号；本译文保留原表数值，并明确提示，不擅自更正。
图12用20日半衰期比较。1964—1980年不缩放债券的实际波动确实低；缩放的落后全部来自1980年前。可以认为，80年代中期货币政策更重视通胀目标，债市经历结构改变，因此1988年后的样本可能更适合今天，尽管它似乎也是单一的利率下降制度。
收益由日收益率推算；左图累计对数超额回报，右图滚动一年、用21工作日重叠收益计算的实际波动。不缩放与20日缩放均为全样本10%波动，波动的波动分别3.9%、2.1%。
1988年起的债券期货，以及其他期货、远期和信用
图13用1988—2017年十年国债期货日及日内数据。缩放显著降低波动的波动，但夏普和左尾平均损失相近；日内估计略有改善。图14以20日半衰期比较累计与实际波动，主要区别仍是风险更稳定。
| 缩放方法 | 毛夏普 | 净夏普 | 平均敞口 | 年换手 | 波动的波动 | 左尾1% | 左尾5% | 右尾95% | 右尾99% |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 不缩放 | 0.64 | 0.64 | 171% | 0.00 | 2.5% | −7.3% | −5.5% | 6.7% | 10.1% |
| 缩放 (10日半衰期) | 0.63 | 0.62 | 182% | 4.33 | 1.2% | −7.5% | −5.6% | 6.3% | 7.9% |
| 缩放 (20日半衰期) | 0.63 | 0.63 | 182% | 2.19 | 1.2% | −7.5% | −5.6% | 6.3% | 8.1% |
| 缩放 (40日半衰期) | 0.63 | 0.63 | 182% | 1.11 | 1.4% | −7.5% | −5.6% | 6.4% | 8.4% |
| 缩放 (60日半衰期) | 0.63 | 0.63 | 181% | 0.74 | 1.5% | −7.5% | −5.6% | 6.5% | 8.6% |
| 缩放 (90日半衰期) | 0.63 | 0.63 | 180% | 0.49 | 1.6% | −7.5% | −5.6% | 6.5% | 8.8% |
| 缩放 (日内， 5日) | 0.66 | 0.65 | 186% | 3.80 | 1.1% | −7.4% | −5.4% | 6.2% | 7.6% |
| 缩放 (日内， 15日) | 0.64 | 0.64 | 186% | 1.39 | 1.1% | −7.4% | −5.5% | 6.3% | 7.7% |
| 缩放 (日内， 25日) | 0.64 | 0.64 | 186% | 0.87 | 1.2% | −7.5% | −5.5% | 6.3% | 7.9% |
| 缩放 (日内， 40日) | 0.63 | 0.63 | 185% | 0.56 | 1.3% | −7.5% | −5.5% | 6.4% | 8.1% |
| 缩放 (日内， 60日) | 0.63 | 0.63 | 184% | 0.38 | 1.4% | −7.6% | −5.5% | 6.4% | 8.3% |
原文图13完整数值；统一至全样本10%实际波动。毛／净指扣交易成本前／后；年换手为平均敞口的往返次数；尾部为分位点之外收益的均值，不是分位点本身。
口径同图12，使用真实期货；不缩放、缩放的波动的波动分别2.5%、1.2%。
再看50种全球股票、固定收益、货币、商品期货远期以及信用。图15显示，股票指数和信用夏普略升，其他资产大体相同。股票和信用都暴露于企业现金流风险，故相似并不意外。几乎所有资产的波动的波动与左尾都明显改善。
四幅散点分别比较夏普、波动的波动（反向轴）、1%左尾、5%左尾；颜色区分短期利率、债券、股票、信用、农产品、金属、能源、货币。虚线以上代表改善。20日半衰期，滚动21工作日评估，均统一至全样本10%波动；散点未标逐项精确值。
组合层面的效果
前文关注单项资产。这里分析股债60/40均衡组合；在线补充展示股债信商25/25/25/25风险平价的相似结果。比较三种实施：资产和组合均不缩放；只在资产层缩放；资产和组合两层都缩放。
所有版本的资产收益都先按全样本统一到10%波动，以使起始风险尺度可比。为简化，假设每天恢复目标配置。图16使用标普500和十年国债期货。因为已经进行了等波动标准化，这里的60/40是风险意义的分配。
资产层缩放使夏普、波动的波动和左尾改善；组合层再缩放进一步改善，本质上是在应对资产间相关性的时变。左尾改善大于右尾缩减。图17显示，两层缩放的累计回报与风险稳定性均改善。
| 资产层／组合层 | 毛夏普 | 净夏普 | 平均敞口 | 年换手 | 波动的波动 | 左尾1% | 左尾5% | 右尾95% | 右尾99% |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 不缩放／不缩放 | 0.80 | 0.80 | 153% | 0.00 | 3.4% | −9.7% | −6.0% | 6.8% | 9.7% |
| 20日半衰期／不缩放 | 0.87 | 0.87 | 179% | 2.24 | 2.2% | −8.0% | −5.6% | 6.6% | 8.7% |
| 20日半衰期／20日半衰期 | 0.91 | 0.90 | 183% | 3.95 | 1.3% | −7.3% | −5.5% | 6.5% | 8.0% |
原文图16，滚动21工作日评估，均缩放到全样本10%实际波动；60/40指等波动标准化后的风险配置。
左图累计对数收益，右图滚动一年实际波动；两层20日半衰期缩放与不缩放比较，均为全样本10%波动。波动的波动从3.4%降至1.3%。
为什么夏普改善主要发生在风险资产？
解释分三步：只有风险资产明显显示杠杆效应；杠杆效应使缩放带有动量；动量叠加有助于夏普。我们将展示，这种隐含动量解释了不同资产夏普改善幅度的大部分差异。
杠杆效应主要限于风险资产。股票、信用的收益与波动变化同期负相关。Black（1976）的经典解释是：股票下跌提高企业债股比，在企业现金流波动不变时，股权波动随之上升。图18中，股票全样本、子样本、行业及信用均出现这一现象，其他资产没有。右图是收益与方差变化的月度相关，左图是收益与方差水平的相关，图形相似。
上两图为1926—2017全美股票及子样本、行业；下两图为1988—2017信用及50种期货远期。纵轴为同期相关性，左列比较收益与方差，右列比较收益与方差变化；方差由月内日数据估计。
杠杆效应引入一些动量。负回报后波动往往上升、头寸缩小，正回报后波动下降、头寸变大。图19直接计算波动倒数（与头寸成比例）同过去21、65、130、260日收益，即1、3、6、12月动量的相关。估计半衰期20日。只有风险资产持续表现为正相关；其他资产主要负相关，相当于引入均值回归押注。
四图分别为过去21、65、130、260日收益与20日半衰期波动倒数的相关；资产、期间同图18下图。
动量特征与夏普改善。历史证据表明时间序列动量表现较好。图20显示，缩放中的动量成分解释很大一部分夏普改善的横截面差异，其中一个月短期动量最相关。20日半衰期时R²=45%；90日半衰期时R²=60%。收益、波动与缩放后夏普之间的精确关系，仍是持续研究的问题。
纵轴为缩放夏普减不缩放夏普，横轴为过去21日收益与波动倒数的相关。左图20日半衰期、R²=0.45；右图90日半衰期、R²=0.60。1988—2017信用及50种期货远期，指数加权收益平方估计波动。
结语
近期研究证明股票波动缩放可提高夏普，但把它外推至其他资产是错误的。提升主要发生于股票、信用等风险资产，或大量配置这些资产的组合；固定收益、货币、商品的简单缩放对夏普影响很小。
投资者的目标比夏普更广。跨资产最明确的效果，是降低极端回报及波动率本身的波动，尤其减少极端负收益概率，具有价值。
虽然本文详细考察60多项资产及两个多资产组合，仍有三个问题超出范围。第一，深入股债分析主要依赖美国最长日历史。美国是事后赢家，过去一个世纪经济增长稳健，本土未发生重大战争。对债券尤其要注意：若政府信用遭质疑，国债可能更像信用投资。因此，“债券缩放不显著提高夏普”也须加条件；未来某些债券意外变得信用化时，缩放可能改善夏普。
第二，波动缩放之外还有其他风险管理方法。Hamill等发现趋势跟踪在股债抛售时尤其有效，故趋势叠加可能进一步改善多头组合。
第三，标普和国债日内数据相对日数据有一定优势，但本文仅作初探。更多资产拥有优质日内数据、覆盖时段更长；统计模型进步也可能提高及时性。多变量高频HEAVY波动模型见Noureldin等（2012）。
致谢：感谢Xinuo Chen、Antoine Forterre、Nick Granger、Keith Haydon、Tim Meakins、Graham Robertson、Darrel Yawitch及2018年摩根大通宏观量化与衍生品会议参与者的意见。
参考文献与出版信息
- Andersen等，2003：《实现波动率的建模与预测》，Econometrica 71(2)，579–625。
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原文件封面信息截至2018年11月1日，标注©2017 Institutional Investor LLC，保留全部权利；期刊地址1120 Avenue of the Americas，6楼，New York NY10036，电话+1 212-224-3589。重印联系David Rowe，d.rowe@pageantmedia.com，646-891-2157。原文提供在线补充和引文邮件提醒入口，非本文正文。
编者笔记 · 更稳定，不是每期精确达到目标
作者用全样本常数k把实际波动校准到10%，是研究比较手段，不能当成实盘事前已知系数。评价风险管理时，更有意义的是波动稳定性、尾部和成本共同如何变化。债券早期低波动熊市也提醒：低波动并不自动带来正预期收益，放大它可能放大长期亏损。
这篇的价值在于拆开两种不同诉求：让风险稳定，与让单位风险赚钱更多。前者在资产间更普遍，后者依赖收益和波动的关系。它既提供了支持波动管理的证据，也保留债券反例，是理解方法边界的重要一篇。