摘要
杠杆厌恶改变了现代投资组合理论的预测：较安全资产必须提供比高风险资产更高的风险调整回报。要把这些较安全资产的高风险调整回报转化为足够的绝对回报，需要杠杆；这给能够使用杠杆的投资者创造了机会。风险平价通过使各类资产的风险配置相等，相对于市场组合超配较安全资产，从而利用这种机会。
投资者该如何配置资产？资本资产定价模型（CAPM）的标准建议，是所有投资者持有市场组合，再按个人风险偏好调整杠杆。近年，风险平价这种新配置方法在实践者中日渐流行（Asness，2010；Sullivan，2010）。我们希望填补现有支持论证的缺口：基于投资者对杠杆的厌恶提供理论依据，并给出国家和资产类别内部及之间的广泛证据。
风险平价从一个观察出发：市场组合或股债60/40等传统配置，若按各类资产对总风险的贡献来看，并未充分分散。股票远比债券波动大，所以股市走势支配市场组合风险。几乎全部业绩变化都由股票解释，从风险角度看，市场组合主要就是股票组合。资金比例看似平衡，却没有多少风险分散。
倡导者提出简单办法：分散，但按风险而非金额分散，让股票和债券承担相近风险。一般而言，这要求把更多资金投向低风险资产。因此，即使单位风险回报更高，组合整体进取程度和预期收益仍低于传统60/40。投资者再对这个风险均衡组合加杠杆，把风险和收益提高至目标水平。杠杆引入自身风险和操作问题，但由此既能真正平衡各类风险，也能承担足够风险以争取足够回报。具体做法差别很大，例如真实风险平价远不止美国股债，但按风险分散是其本质。
支持者还提出历史证据。图1展示1926年以来1美元投在60/40、市值加权市场组合和简单风险平价中的增长。虽然只是一次历史实现，风险平价的优势相当稳健。因此，常见论证建立在两个基础上：按风险平衡比按金额平衡更有吸引力的直觉，以及优于传统配置的历史表现。
纵轴为总回报的对数刻度，横轴为1926—2010年。风险平价长期累计值高于60/40，后者高于市值加权市场组合。市场组合每月恢复市值权重；60/40每月恢复股60%、债40%；风险平价用截至t−1月的过去三年月度超额收益估计波动，月末取波动倒数为权重，再乘固定常数，使事后波动与市值基准一致。曲线无逐点数字，统计值见表2。
这些理由虽然吸引人，却还不充分。认为风险均衡组合总优于市场组合，隐含了预期收益假设。如果股票相对债券的预期收益足够高，也就是股权风险溢价足够大，我们会乐意持有由股票风险主导的组合。市值加权投资者承担过多股票风险这一判断，只有在股权相对债券的风险溢价不足以支持如此大预算时才成立。更具体的“风险相等”直觉，也要求各资产预期提供相等的风险调整收益。
不能仅因分散更好，就断言等风险最优；还必须相信，股票给我们的补偿不足以支持如此集中。风险平价不只是风险划分，也天然表达了预期回报观点。投资者应说：“我们不相信股票预期回报高到足以获得不成比例的风险预算”，而不是“无论预期回报如何，等风险总是最佳”。这是文献讨论中缺失的重要区别。CAPM认为风险溢价使市场组合最优，因此风险平价必须解释CAPM如何失效，才有理由比市场组合更多配置低风险资产。
长期历史优势确实有用、相关，但它只是历史的一次抽样，尽管样本很长。过去80年的股权相对债券溢价不足，是否意味着未来也不足？理想中我们想要样本外证据，但再等80年显然不是好办法。
因此我们提出另一条增强信心的路径：一是理论依据，二是在主要资产、国家内部及之间进行广泛检验。Frazzini与Pedersen（2010）沿Black（1972）的思路指出，若部分投资者厌恶杠杆，低贝塔资产会提供较高、高贝塔资产会提供较低的风险调整回报。杠杆厌恶打破标准CAPM：最高风险调整回报不来自市场组合，而来自超配较安全资产的组合。较少厌恶杠杆或约束较弱的投资者，可以超配低贝塔、低配高贝塔，并适度加杠杆获益。
Frazzini与Pedersen在各主要资产内部发现一致证据：美国和全球股票中低贝塔股票风险调整回报更高；较安全公司债优于较危险公司债；短期限美国国债优于高风险的长期国债；其他资产类别也有类似现象。
在风险平价问题上，债券是低贝塔资产，股票是高贝塔资产；我们发现超配债券有益，是该理论的另一项实证支持。理论也指出，可通过在每类资产内部比较较安全和较危险证券来获得额外样本外证据。杠杆及保证金约束还能解释一价定律偏离、央行贷款工具的效果以及一般流动性动态。这些独立于资产配置问题的应用没有明显反例，增强了我们对风险平价优势并非统计偶然的信心。
杠杆厌恶理论
先回顾马科维茨（1952）的现代组合理论及Sharpe、Lintner、Mossin的CAPM。现代组合理论研究投资者如何在风险和预期收益间取得良好权衡，通常用均值—波动图表示。使用1926—2010年美国股票和国债实际数据，股票平均年回报10.8%、波动18.9%；债券回报5.2%、波动3.4%。连接两点的双曲线代表全部股债组合，60/40就是每月恢复资金比例为60%股票、40%债券的一点。
同期无风险国库券平均年利率3.6%，位于纵轴。把无风险资产与风险资产组合，就得到连接该点与双曲线的直线。对喜欢更高回报、更低风险的人，最佳直线通向夏普比率最高的“切点组合”。数据中的事后切点是88%债券、12%股票。理论认为，最优组合位于这条线上：风险厌恶者在现金与切点之间，较能承受风险者在切点外侧，即按无风险利率借钱，投资超过自身资本100%的切点组合。
CAPM进一步假设人人如此投资，故切点必为全部资产的市值加权市场组合。但图2中市场组合历史夏普明显低于切点，原因有二：股债市场权重随时间变动，使市场风险收益落在双曲线内部；市场给股票的资金比例远高于历史最优。长样本平均为68%股票、32%国债，尚不包含公司债和抵押债券。
1973年起的更广样本纳入全部债券及商品，也有一致证据。计入各类债券后，当时市场组合约42%股票、48%债券（含信用）、10%商品。市场相对切点表现差，并不依赖某一具体市场权重：因为股票风险远高于债券，要让市场最优，股票夏普必须大幅高于债券；事实却相反。债券更高夏普、更低风险也解释了切点为何重配债券。
横轴为年标准差，纵轴为平均年回报。图中包括无风险利率、债券、股票、60/40、市值市场组合、不加杠杆及加杠杆风险平价、切点组合。风险平价靠近切点；加杠杆版缩放至市场组合事后波动，无杠杆版每次再平衡将权重归一为1。正文与表2分别采用总回报和超额回报，不宜直接混比。
这些结果对CAPM是谜，但杠杆厌恶可以解释。假如一个人希望收益高于切点组合、愿意多承担风险，却不愿或不准加杠杆，她会选择什么？她会比切点持有更多股票，甚至全部投股票。这类人的存在破坏了CAPM“人人都在均值—波动图直线上投资”的前提，因此切点不再等于市场。
那么切点究竟是什么？事前无法确定，但带杠杆厌恶的均衡理论能提供方向。部分人为了不借钱而超配高风险资产，会推高其价格、压低其预期收益；他们低配的安全资产价格较低、预期收益较高。愿意且能加杠杆的人，反向超配安全资产，便可获得更高风险调整回报。杠杆风险通过证券相对定价在均衡中获得补偿，因此切点包含较多安全资产。
切点构成取决于受到杠杆约束的投资者数量，而数量会变化，故实践中无法事前知道精确切点。风险平价提供与理论方向一致的简单建议：给股票和债券分配相等风险。
我们的简单构建方法是在每个月末，用截至t−1月的三年月超额收益估计波动，再以波动倒数为权重，乘一个固定常数，匹配市值基准的事后波动。不使用协方差估计。全样本无杠杆平均配置为15%股票、85%债券；截至2010年6月，最新配置为14%股票、86%债券。
图2显示，风险平价更接近切点，而非市场或60/40。虽然并非精确事后最优，但超配安全资产得到了回报，因此是良好近似。我们不应过度认真地看待股债风险必须严格相等这一精确处方，不过事后看，它确实朝正确方向迈出了一大步。
Frazzini与Pedersen给出更正式的理论及其他可检验预测。理论中无人持有市场组合，但有人超配安全、有人超配高风险资产，均衡仍可实现。双方都满意：一方接受较低夏普，无杠杆获得较高预期收益；另一方使用杠杆，以更好的风险收益权衡取得较高预期收益。
跨资产风险与回报：风险平价、市场与60/40
我们用三组样本比较市值加权、风险平价和60/40：1926—2010年美国股债长样本；1973—2010年全球股票、美国债券、信用与商品的广样本；1986—2010年摩根大通全球政府债券指数所涵盖11国的股债全球样本。表1列统计，附录A详述数据及构建。
| 样本／资产 | 平均权重 | 最新权重 | 指数／期限 |
|---|---|---|---|
| 长样本股票 | 0.68 | 0.67 | CRSP市值指数，1926—2010 |
| 长样本国债 | 0.32 | 0.32 | CRSP市值指数，1926—2010 |
| 广样本股票 | 0.58 | 0.42 | CRSP市值指数，1973—2010 |
| 广样本政府债 | 0.15 | 0.19 | 巴克莱美国国债、其他政府债指数，1973—2010 |
| 广样本信用 | 0.18 | 0.29 | 下列巴克莱各系列 |
| 广样本商品 | 0.09 | 0.10 | 标普GSCI，1973—2010 |
| 全球样本股票 | — | — | MSCI各国指数，1986—2010 |
| 全球样本债券 | — | — | 摩根大通全球政府债券指数，1986—2010 |
最新权重原注为2010年9月，正文回报样本截至6月。信用系列：美国公司债（1973起）、美国证券化债（1976）、美国公司高收益债（1983）、欧洲美元债（1995）、新兴市场债（1998）、144A债（1998）、商业抵押贷款支持证券CMBS（2006）、Emerged Bonds系列（2000）；各系列均止于2010。原文广样本标题称全球股票，表中股票指数却列CRSP，保留这处原文不一致。
表2分别报告长样本与广样本。每类使用市值加权收益指数，再对资产类别按市值加权构成整体市场。两组中，股票均有更高平均收益，也有高得多的波动。因此市场与60/40平均回报高于不加杠杆风险平价。不能或不愿加杠杆的人，理性上可能偏好市场、60/40乃至全股票，即使其夏普较低。这也可能使高风险资产相对标准CAPM定价过高。
能加杠杆的人则会偏好风险平价历史表现：杠杆版波动与市场相同，平均回报明显更高。图3展示其夏普的显著改善。模拟尚未对融资利差和去杠杆成本等作调整。适度杠杆下额外成本应较低；高杠杆下被迫去杠杆成本可能很大，尤其总体规模很大的投资者。附录B检验不同融资利率的稳健性。
通过期货使用杠杆时，收益序列可直接实施，无需另假设融资成本，因为Ft/Ft−1−1已是超额回报。期货结果与现货证券相似，进一步支持稳健性。
为检验图1的超额表现，我们将月超额收益对市值基准回归，计算截距阿尔法的t统计量。它远大于2，显示很强的统计显著性。进一步做多风险平价、做空市场或60/40，在长、广样本中这些多空组合的超额回报与阿尔法均显著。
有人可能担心优势只是过去25—30年债券牛市的产物。但1926—2010年债券收益率几乎走完一轮往返，而按Robert Shiller十年市盈率衡量，股票估值接近翻倍。所以若说存在偏向，这段时期反而更有利于股票，风险平价仍然优越。
| 组合 | 超额回报% | 回报t值 | 阿尔法% | 阿尔法t值 | 波动% | 夏普 | 偏度 | 超额峰度 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| CRSP股票 | 6.71* | 3.18 | — | — | 19.05 | 0.35 | 0.18 | 7.51 |
| CRSP债券 | 1.56* | 4.28 | — | — | 3.28 | 0.47 | −0.01 | 4.37 |
| 市值加权 | 3.84* | 2.30 | — | — | 15.08 | 0.25 | 0.37 | 13.09 |
| 60/40 | 4.65* | 3.59 | — | — | 11.68 | 0.40 | 0.20 | 7.46 |
| 风险平价（无杠杆） | 2.20* | 4.67 | 1.39* | 4.44 | 4.25 | 0.52 | 0.05 | 4.58 |
| 风险平价 | 7.99* | 4.78 | 5.50* | 4.30 | 15.08 | 0.53 | −0.36 | 1.92 |
| 风险平价−市值组合 | 4.15* | 2.95 | 5.50* | 4.30 | 12.69 | 0.33 | −0.79 | 8.30 |
| 风险平价−60/40 | 3.34* | 2.93 | 3.76* | 3.33 | 10.31 | 0.32 | −0.61 | 5.04 |
| 组合 | 超额回报% | 回报t值 | 阿尔法% | 阿尔法t值 | 波动% | 夏普 | 偏度 | 超额峰度 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 股票 | 5.96* | 2.22 | — | — | 15.71 | 0.38 | −0.80 | 2.41 |
| 债券 | 2.72* | 2.97 | — | — | 5.36 | 0.51 | 0.23 | 2.43 |
| 信用 | 3.03* | 2.68 | — | — | 6.63 | 0.46 | 0.29 | 7.68 |
| 标普GSCI | 3.10 | 0.94 | — | — | 19.24 | 0.16 | −0.18 | 2.37 |
| 市值加权 | 4.31* | 2.50 | — | — | 10.10 | 0.43 | −0.89 | 2.65 |
| 风险平价（无杠杆） | 3.39* | 3.65 | 1.68* | 2.65 | 5.44 | 0.62 | −0.24 | 3.03 |
| 风险平价 | 6.15* | 3.57 | 3.03* | 2.52 | 10.10 | 0.61 | −0.94 | 4.93 |
| 风险平价−市值组合 | 1.84 | 1.43 | 3.03* | 2.52 | 7.52 | 0.24 | 0.31 | 2.51 |
来源：原表2。*表示5%水平显著。收益以美元计，超额回报扣美国国库券利率；收益、阿尔法、波动为年化百分数，夏普年化。阿尔法为月超额收益对市值基准月收益回归截距。超额峰度=月超额收益峰度−3。市值组合按每月总市值加权，60/40每月恢复固定比例，风险平价构建见正文。
原图比较1926—2010股债、1973—2010股债，以及1973—2010股债商信三组样本，风险平价均高于市值加权与相应60/40。可对应的精确统计列在表2；仅在图中出现、无数字标签的中间一组不另估读。
表3以美国外十国补充证据。每国风险平价风险调整回报都高于60/40；把国家按市值汇成全球组合后，无论含不含美国，超额表现都统计显著。图4用柱图展示同样的国家比较。
| 国家／组合 | 60/40超额% | RP超额% | 差额百分点 | 差额t值 | 60/40夏普 | RP夏普 | 多空差额夏普 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 奥地利 | 3.63 | 4.40 | 0.77 | 1.00 | 0.37 | 0.45 | 0.22 |
| 比利时 | 1.52 | 2.80 | 1.27 | 1.26 | 0.12 | 0.22 | 0.27 |
| 加拿大 | 4.38 | 6.03 | 1.65 | 1.71 | 0.42 | 0.58 | 0.37 |
| 法国 | 3.42 | 3.93 | 0.51 | 0.43 | 0.28 | 0.32 | 0.09 |
| 德国 | 3.47 | 4.35 | 0.89 | 0.62 | 0.25 | 0.32 | 0.13 |
| 意大利 | 2.30 | 2.82 | 0.53 | 0.34 | 0.16 | 0.20 | 0.07 |
| 日本 | −2.94 | −0.09 | 2.85* | 2.27 | −0.23 | −0.01 | 0.49 |
| 荷兰 | 3.51 | 4.38 | 0.88 | 0.83 | 0.30 | 0.37 | 0.18 |
| 西班牙 | 4.29 | 5.28 | 1.00 | 0.74 | 0.30 | 0.37 | 0.16 |
| 英国 | 2.62 | 3.14 | 0.52 | 0.58 | 0.26 | 0.31 | 0.13 |
| 美国 | 4.79 | 7.43 | 2.64* | 2.13 | 0.51 | 0.78 | 0.46 |
| 全球 | 2.26 | 4.62 | 2.35* | 2.42 | 0.24 | 0.52 | 0.52 |
| 全球除美国 | 0.28 | 2.11 | 1.84* | 2.04 | 0.03 | 0.21 | 0.44 |
来源：原表3。*为5%显著；全球组合按各国股市市值加权。最后一列是“做多RP、做空60/40”组合的夏普，不是前两列夏普直接相减。
原图为表3各国夏普两列的柱形展示；此处已在表中完整列数。股票为MSCI各国指数，债券为对应摩根大通全球政府债券指数。
标准CAPM实证失效的经典表现，是证券市场线过平。Black、Jensen、Scholes最先在美国股票中指出这一点。证券市场线联系实际超额收益与CAPM预测的“贝塔×市场超额收益”。我们关心的是跨资产而非仅股票内部的市场线。图5中的贝塔，是月超额收益对市值基准回归的斜率。
CAPM预测证券落在45度线上，即预期收益匹配系统风险。实证线却更平：较安全的债券、信用、商品，其收益相对CAPM过高；高风险的境内外股票，相对风险的收益过低。商品虽然自身波动高，但因与股票相关性低，系统性贝塔风险显著低于股市。市场线过平，正是买入较安全资产具有吸引力的基础；其他国家和长样本也如此。
纵轴为平均年超额回报，横轴为“贝塔×平均市场超额回报”，单位均为%。理论为45度线；按平均超额收益对实际贝塔作横截面回归的实证线更平。债券、信用和GSCI位于理论线之上，股票位于其下。市场收益按总市值加权、每月再平衡。
资产内部的风险与回报：高贝塔、低阿尔法
市场线过平不仅跨资产成立，同类资产内部也成立。较安全证券的风险调整回报高于高风险证券。Black等1972年发现美国股票市场线过平；Frazzini与Pedersen加入其后40年样本外证据，发现结果仍然明显。此外，它在全球股市、19个发达股市中的18个、美国国债、公司债乃至期货内部也成立。
这些内部证据对于本质上跨资产的风险平价很重要，因为它们提供了强样本外验证，表明资产类别间的现象具有普遍性，更不可能只是数据挖掘产物。
结论：风险调整回报是可以转化为实际收益的
风险平价已经成为传统战略配置的热门替代方案，但现有理由不够充分，缺少一致的均衡理论。按风险而非金额分散，直觉再强也不够；如果单一资产给的预期补偿足够高，风险集中也值得接受。仅证明历史补偿不够——也就是回测显示风险平价更好——仍然不够。即使长历史也可能由少数大数据点支配，或来自挖掘。
投资者无需绝望。金融没有确定性，但我们能获得的最接近可靠依据的东西，可能就是现实的理论，并在国家、资产内部与之间的样本外检验中一致成立。Black开创、Frazzini与Pedersen扩展的杠杆厌恶正是这样的理论。
假设部分参与者不能或不愿加杠杆，很现实。杠杆本身带来风险，投资者希望获得补偿；获取和管理杠杆还需要特定“技术”：融资、衍生品、交易对手关系、保证金账户调整和动态交易。大多数共同基金与许多养老金不能借款或受到额度限制。基金公司对不同风险偏好推荐的配置中，高风险版本少用杠杆，更多是高度集中股票。嵌入杠杆ETF的兴起，也说明有人不愿直接借钱，却愿买内含杠杆的工具。
模型隐含的杠杆厌恶有多大？1926—2010年风险平价夏普比市场高0.27，意味着在平均10%波动下，市值组合每年落后2.7%。这未必足以吸引融资成本高或极度厌恶杠杆者转向，但其他人可获益。
Black等及Frazzini、Pedersen的研究表明，杠杆厌恶预测通过了许多资产内部和之间的检验。我们发现风险平价是又一项样本外实例，增强了其战略配置优势真实、重要、并非数据幻象的信心。
附录A：数据与组合构建
长样本为1926年1月至2010年6月美国股债；广样本为1973年1月至2010年6月全球股票、债券、公司债和商品；全球样本为1986年1月至2010年6月摩根大通全球政府债券指数覆盖的11国股债。
长样本收益及市值取自CRSP。股票为含股息的CRSP市值加权指数，债券为CRSP美国国债月库中各券未调整持有期收益，按存续面值加权。
广样本的政府债券为巴克莱Bond Hub中的美国国债与其他政府债券指数之和；信用为巴克莱Universal指数中全部信用相关及证券化系列，详见表1。商品用彭博的标普GSCI。商品“总市值”用美林提供的年度商品产量美元价值代理；数据始于1989年，故1973—1988年使用1989年的权重。收益和市值均以美元表示，超额回报扣除美国国库券利率。
全球样本股票取MSCI世界系列中的各国指数，债券取Thomson Reuters Datastream的摩根大通全球政府债券指数。
简单风险平价每月再平衡，目标是可用资产风险均衡。月末用截至t−1月数据估计波动，资产i的权重为：
不加杠杆：kt = 1 / ∑i(1/σ̂t,i)
加杠杆：kt = k（各期相同）
rtRP = ∑iwt−1,i(rt,i − rft)
波动取过去三年月超额回报滚动标准差，采用其他估计也有相似结果。kt控制杠杆或目标波动：第一种使权重和为1，超配低波动、低配高波动；第二种固定k，匹配基准的事后年化波动。因为k不随时间变化，其精确尺度不影响统计推断。后者等于各类资产分别恒定波动目标，再放大至基准风险。建仓时按条件波动匹配基准，也有类似结果。月回报公式中r为美元计的资产总回报，rf为一个月国库券利率。
附录B：稳健性与融资成本
长、广、全球三组数据以及未列出的轻微构建调整，都支持主结论。进一步改变无风险利率：正文用国库券，表B1还考察回购、隔夜指数互换、联邦基金和LIBOR。因为风险平价有杠杆，融资利率高时表现下降；但即使用最保守的LIBOR，仍优于市场。期货可以以低于LIBOR的隐含成本提供杠杆。
不同投资者融资成本和动态管理杠杆的能力不同。某些人更“厌恶”杠杆，可能正因为其融资更贵，或持续管理能力较弱。
| 融资利率 | 高于国库券bp | 超额回报% | 回报t值 | 阿尔法% | 阿尔法t值 | 波动% | 夏普 | 偏度 | 超额峰度 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 国库券 | 0.0 | 4.15* | 2.95 | 5.50* | 4.30 | 12.69 | 0.33 | −0.79 | 8.30 |
| 回购 | 20.0 | 3.38* | 2.40 | 4.66* | 3.65 | 12.69 | 0.27 | −0.79 | 8.28 |
| 隔夜指数互换 | 24.6 | 3.21* | 2.28 | 4.48* | 3.51 | 12.69 | 0.25 | −0.79 | 8.27 |
| 联邦基金 | 40.4 | 2.64 | 1.88 | 3.86* | 3.02 | 12.70 | 0.21 | −0.79 | 8.25 |
| LIBOR | 62.3 | 1.81 | 1.29 | 2.95* | 2.31 | 12.70 | 0.14 | −0.79 | 8.22 |
| 融资利率 | 高于国库券bp | 超额回报% | 回报t值 | 阿尔法% | 阿尔法t值 | 波动% | 夏普 | 偏度 | 超额峰度 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 国库券 | 0.0 | 1.84 | 1.43 | 3.03* | 2.52 | 7.52 | 0.24 | 0.31 | 2.51 |
| 回购 | 20.0 | 1.63 | 1.27 | 2.77* | 2.31 | 7.52 | 0.22 | 0.31 | 2.51 |
| 隔夜指数互换 | 24.6 | 1.59 | 1.24 | 2.72* | 2.27 | 7.51 | 0.21 | 0.31 | 2.52 |
| 联邦基金 | 40.4 | 1.49 | 1.16 | 2.57* | 2.14 | 7.51 | 0.20 | 0.32 | 2.52 |
| LIBOR | 62.3 | 1.25 | 0.97 | 2.27 | 1.89 | 7.51 | 0.17 | 0.31 | 2.48 |
来源：原表B1；统计口径同表2。回购为隔夜回购，联邦基金为有效利率，LIBOR为一个月伦敦银行间拆借利率；缺历史利率时采用一个月国库券利率加全样本平均利差。*为5%显著。
原文注释1—10
1．Asness（1996）讨论较简单的情形：加杠杆60/40与全股票比较。
2．相关结果补充了大量CAPM实证失效文献。CAPM假设无摩擦、人人可无限杠杆且人人持有市场组合，现实显然并非如此。值得注意的是，偏离常向同一方向：低贝塔资产回报高于模型预测。
3．其他解释包括：以基准考核的委托管理；资金流—业绩关系的凸性使基金经理偏好高贝塔；货币幻觉。高特质波动股票低回报也相关，但该发现主要适用于不流动证券的近期波动，贝塔效应更稳健。这些解释各针对特定环境，可解释部分而非全部证据，也可补充统一的杠杆厌恶理论。
4．长样本市值加权国债平均久期5.6年。长期国债夏普低于短期国债，符合理论；采用更短债结果会更强，长债则更弱。市值加权国债是自然基准，就像采用市值股票而非仅高贝塔股票。
5．x倍杠杆现货收益为xr−(x−1)rfPB，其中PB为主经纪商融资利率。相对无风险rf的超额收益为x(r−rf)−(x−1)(rfPB−rf)，末项是融资利差。x倍期货超额收益为x(Ft/Ft−1−1)。期货价格已内含融资率，故是自融资头寸的超额回报；保证金若以赚取无风险利息的国库券提交，不改变计算。
6．Shiller数据见www.econ.yale.edu/~shiller/data.htm。7．GSCI原称高盛商品指数。8．感谢美林商品提供产量数据。9．去掉缺产量数据的1973—1988年商品，结果仍稳健。10．MSCI数据见www.msci.com。
参考文献（中文题名，保留作者及检索信息）
- Ang、Hodrick、Xing、Zhang，2006：《波动率与预期收益的横截面》，Journal of Finance 61(1)，259–299。
- Ashcraft、Garleanu、Pedersen，2010：《两种货币工具：利率与折扣率》，NBER Macroeconomics Annual 25(1)，143–180。
- Asness，1996：《为什么不全部配置股票》，Journal of Portfolio Management 22(2)，29–34；2010：《评“投机性杠杆：养老金困境的错误解药”》，Financial Analysts Journal 66(5)，14–15。
- Baker、Bradley、Wurgler，2011：《基准作为套利限制：理解低波动异常》，FAJ 67(1)，40–54。
- Black，1972：《借款受限下的资本市场均衡》，Journal of Business 45(3)，444–455；1993：《贝塔与回报》，JPM 20(1)，8–18。
- Black、Jensen、Scholes，1972：《资本资产定价模型：若干实证检验》，载Jensen编《资本市场理论研究》，Praeger。
- Brennan，1993：《代理关系与资产定价》，UCLA工作论文。
- Brunnermeier、Pedersen，2009：《市场流动性与融资流动性》，Review of Financial Studies 22(6)，2201–2238。
- Cohen、Polk、Vuolteenaho，2005：《股票市场中的货币幻觉：莫迪利安尼—科恩假说》，QJE 120(2)，639–668。
- Falkenstein，1994：《共同基金、特质方差与资产回报》，西北大学博士论文。
- Fama、French，1992：《预期股票收益的横截面》，JF 47(2)，427–465。
- Frazzini、Pedersen，2010：《做空贝塔》，NBER工作论文16601。
- Garleanu、Pedersen，2011：《基于保证金的资产定价与一价定律偏离》，RFS 24(6)，1980–2022。
- Gibbons，1982：《金融模型的多变量检验：新方法》，JFE 10(1)，3–27。
- Kandel，1984：《无无风险资产时均值方差有效性的似然比检验》，JFE 13(4)，575–592。
- Karceski，2002：《追逐收益行为、共同基金与贝塔之死》，JFQA 37(4)，559–594。
- Li、Sullivan，2010：《再论套利限制：低风险异常》，波士顿学院工作论文。
- Lintner，1965：《风险资产估值及股票组合与资本预算中的风险投资选择》，Review of Economics and Statistics 47(1)，13–37。
- Markowitz，1952：《投资组合选择》，JF 7(1)，77–91。
- Mossin，1966：《资本资产市场均衡》，Econometrica 34(4)，768–783。
- Shanken，1985：《零贝塔CAPM的多变量检验》，JFE 14(3)，327–348。
- Sharpe，1964：《资本资产价格：风险条件下的市场均衡理论》，JF 19(3)，425–442。
- Sullivan，2010：《投机性杠杆：养老金困境的错误解药》，FAJ 66(3)，6–8。
致谢、利益关系与版权
感谢Antti Ilmanen、Ronen Israel、Sarah Jiang、John Liew、Mike Mendelson和Larry Siegel的意见与讨论。观点属于作者，不必代表AQR、关联方或员工。信息来自作者认为可靠的来源，但不保证准确完整，不建议将其作为投资决定基础。文件仅供信息，不构成买卖证券或金融工具的要约、邀约、建议或推荐。本文可计1个继续教育学分。原文件末页注明：2011年CFA Institute版权，经许可转载自《金融分析师杂志》，保留全部权利。
编者笔记 · “低波动”与“低贝塔”不要混为一谈
本文理论讨论的是相对于市场的贝塔，而简单实现按自身波动率分配。两者相关，却不是同一个量；文中商品自身波动很高、系统贝塔却较低，就是例子。融资表还显示：收益差为正与统计显著是两回事，广样本在LIBOR下的阿尔法t值为1.89，未达表中5%显著门槛。
最值得反复阅读的是作者对自身阵营的质疑：仅凭“更分散”无法证明风险平价最优。它需要预期回报假设，也需要解释市场为何不会立刻套利掉优势。杠杆厌恶提供了一种可以被检验的解释，但并未把精确等风险提升为普适定律。